Их тооны хууль

Их тооны хууль (ИТХ) нь адилхан туршилтыг маш олон удаа давтаж хийсний үр дүнг дүрсэлдэг теорем. Энэ хуулийн дагуу, олон туршилтаас гарсан үр дүнгийн дундаж нь expected value буюу таамаглалтай ойролцоо байх бөгөөд , туршилтын тоо нэмэгдэх тусам улам их ойртох хандлагатай.

Санамсаргүй, тохиолдлын үзэгдлүүдийг авч үзэхэд, тэдгээрт тогтвортой урт-хугацааны үр дүн “баталгажуулж” өгдөг гэдгээрээ ИТХ чухал. Жишээлбэл, казино нь рулет-дугуй (Англи: Roulette) тоглоомын нэг эргэлтнээс мөнгө алдах боломжтой боловч олон эргэлтийн дараа орлого нь таамаглаж болохуйц тодорхой хэмжээний хувьруу дөхөж ирдэг. Тэгэхлээр уг тоглоомын параметр нь олон дараалж ялсан тоглогчийг эцсийн дүнд даван гарч ирдэг байна. ИТХ нь зөвхөн олон тооны ажиглалтыг дүгнэсэн үед л биелдэг гэдгийг анхаарах шаардлагатай.

Жишээнүүд

Жишээлбэл, зургаан талт энгийн шоог нэг удаа шидэхэд буух тал нь 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 гэсэн тооны аль нэг нь байх ижил магадлал -тай. Тэгэхлээр нэг шидэлтээс гарах үр дүнгийн магадлал нь

${\tfrac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5.$

ИТХ –ийн дагуу, 6 талт шоог маш олон удаа шидэхэд үр дүнгийнх нь дундаж нь 3.5 –руу ойртсон байх ба цаашид шидэх бүрт улам оновчтой болж ирнэ.

Хэрэв шоог N удаа шидээд үр дүнгийн математик дундажийг тооцоолох аваас, N өсөх тусам дундаж нь бараг баттайгаар магадлал нь болох хандлагатай. Энэ байдлыг хүчтэй (strong) ИТХ гэнэ. Жишээ нь шоог 10 удаа шидэхэд 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6 тоонууд буусан байна. Тэгвэл тэдгээрийн дундаж нь 3.1 болсон байна.

Энэ нь магадлал болох 3.5 -аас 0.4 -өөр зөрж байна. Хандлага нь “удаашралтай” байна гэсэн үг. Дундаж нь 3.5 ± 0.1 байх магадлал 10 шидэхэд 21.6%, 100 шидэхэд 46.1%, 1000 шидэхэд 93.7% байна. Зурагнаас ажиглахад шидэлтийн тоо ихсэх тусам дундаж нь магадлалруу ойртож байна.

Түүнчлэн жигд зоос шидэхэд сүлдээр буух магадлал ½ -тэй тэнцүү. Тиймээс ИТХ-ийн дагуу “олон” тооны шидэлтийн үр дүн барагцаагаар ½ “байх юм”. Үүнийг мөн Бернуллийн туршилт гэнэ.

Их тооны хуулийг харуулсан загвар. Хором бүр нэг талд нь улаан, нөгөө талд нь хөх зоос шидэх бөгөөд харъяалагдах баганад цэгээр тэмдэглэнэ. Бялуу хэлбэр диаграм (piechart) нь хөх улаан хоёрын харьцааг харуулна. Эхэн үед харьцаа нь маш том зөрүүтэй байж байгаад аажимдаа 50% -руу дөхөж буйг харж болно.

Түүх

Анх Италийн математикч Жероламо Кардано (1501-1576) нь туршилтын тоо ихсэх тусам статистикийн нарийвчлал улам сайжирдаг гэсэн дүгнэлтийг баримт баталгаагүйгээр гаргасан байна. Үүнийг албан ёсоор Их тооны хууль гэж үздэх болсон. Хоёртын санамсаргүй хувьсагчид зориулсан их тооны хуулийн загвар нь анх Якоб Бернулли баримттай нотолсон бөгөөд тэрээр 20 жил математикийн нарийн туршилт хийж, судлаж 1713 онд хэвлэмэл гаргажээ.

Хүрэлцээтэй олон тооны санамсаргүй хэрэглэгдэхүүний арифметик дундаж санамсаргүй шинж чанараа алдаж скаляр хэмжигдэхүүн болдог бөгөөд түүнийг хэрхэн өндөр магадлалтайгаар урьдчилан үнэлж болохыг их тооны хууль илэрхийлнэ. Иймд их тооны хууль нь, олон тооны туршилтын дундаж үзүүлэлтүүд тодорхой нөхцлийн үед ямар нэг тоон утгад ойртох тухай өгүүлсэн хэд хэдэн теоремоос тогтоно.

Төрөл

Чебышевийн тэнцэтгэл биш. Сөрөг биш утга авах, төгсгөлөг математик дундажтай Х- санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба ∀α>0 хувьд дараах нөхцөл биелнэ.

$p\left(h\geq \alpha \right)\leq {\frac {MX}{\alpha }}\left(P\left(X\prec \alpha \right)\geq 1-{\frac {MY}{\alpha }}\right)$

Чебышевийн лемм. Математик дундаж ба дисперс нь оршин байх дурын Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дараах нөхцөл биелнэ.

$P\left(\left|X-MX\right|\prec \varepsilon \right)\succeq 1-{\frac {DX}{{\varepsilon }^{2}}}\left(\forall \alpha \succ 0\right)$

Тухайн тохиолдолд, Х нь МХ=np, DX=npqбайх бином тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол

$P\left(\left|X-MX\right|\prec \varepsilon \right)\succeq 1-{\frac {npq}{{\varepsilon }^{2}}}\$

Чебышевийн теорем. Хэрэв Х1, Х2, ......., Хn, ...... гэсэн хос хосоороо хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсүүд нь жигд зааглагдсан (DX_i<C,i=1,2,……,C=const )бол ∀α>0 хувьд

$\lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}M{X}_{i}\right|\prec \varepsilon \right)=1$

Энэхүү теоремийг Чебышевийн их тооны хууль гэх ба практикт дараах тэнцэтгэл биш хэлбэрээр ашиглана.

$\lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}M{X}_{i}\right|\prec \varepsilon \right)\geq 1-{\frac {c}{n{\varepsilon }^{2}}}$

Бернуллийн теорем. Үл хамаарах n туршилтанд сонирхсон үзэгдлийн явагдсан тоо m, илрэх магадлал нь p бол ∀α>0 хувьд

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left|{\frac {m}{n}}-p\right|\prec \varepsilon \right)=1$

Практикт энэ теоремийг дараах тэнцэтгэл биш хэлбэрээр ашиглана. $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left|{\frac {m}{n}}-p\right|\prec \varepsilon \right)\succeq 1-{\frac {p\left(1-p\right)}{n{\varepsilon }^{2}}}$

Жишээ1. Хүн ам төвлөрсөн хорооллын өдөрт зарцуулах усны дундаж хэрэглээ 50000л. Тухайн хороололд ямар нэг өдөр усны дундаж хэрэглээ 150000л-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг үнэл. Хэрэв тухайн хорооллын өдөрт зарцуулах усны хэмжээг Х гэвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх ба Чебышевийн лемм ёсоор

$p\left(X\prec 150000\right)\succeq 1-{\frac {MX}{150000}}=1-{\frac {50000}{150000}}={\frac {2}{3}}\approx 0.67$

Иймд, усны хэрэглээ өдөрт 150000л-ээс хэтрэхгүй байх магадлал 0,67-оос багагүй байх гэсэн үг. Жишээ2. Технологийн тодорхой нөхцөлд стандарт бус детал үйлдвэрлэх магадлал 0,1. 10000 бүтээгдэхүүн дотор 950-1050 стандарт бус детал байх магадлалыг үнэл. Стандарт бус бүтээгдэхүүний тоог Х гэвэл бином тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Тэгвэл, n=10000,p=0.1,q=0.9тул MX=10000∙0.1=1000,DX=10000∙0.1∙0.9=900, иймд P(950<X<1050) байх магадлалыг үнэлнэ гэдэг нь Чебышевийн тэнцэтгэл бишийг биномын тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд хэрэглэнэ гэсэн үг болж байна. 950<X<1050 тэнцэтгэл биш нь |X-1000|≤50 тэнцэтгэл биштэй эквивалент тул

$P\left(950<X<1050\right)=P\left(\left|X-1000\right|\leq 50\right)\geq 1-{\frac {900}{{50}^{2}}}=0.64$

Жишээ3. 1800га тариалангийн талбайн дундаж ургацыг тодорхойлохын тулд га тутмаас 1м2 түүвэрлэн сонгон авав. Талбайн га тутмаас авах ургацын дисперс 6 центнерээс үл хэтэрнэ. Түүвэрлэн авсан талбайн дундаж ургац ба нийт талбайн дундаж ургацын хазайлт /ялгавар/ 0,25центнерээс ихгүй байх үзэгдэлийн магадлалыг үнэл. Xi түүвэрлэн авсан i-р га тутмаас авах ургацын хэмжээ болог ( i=1,2,3,……,1800 ) тэгвэл

${\frac {1}{1800}}\sum _{i=1}^{1800}{x}_{i}$ - түүвэрлэсэн талбайгаас авах ургацын дундаж хэмжээ

${\frac {1}{1800}}\sum _{i=1}^{1800}M{X}_{i}$ нийт талбайгаас авах ургацын дундаж хэмжээ болно.

DXi≤6( i=1,2,3,……,1800 )гэж өгөгдсөн. Иймд n=1800, C=6, ε=0.25үед Чебышевийн теорем ёсоор

$P\left(\left|{\frac {1}{1800}}\sum _{I=1}^{1800}{X}_{i}-{\frac {1}{1800}}\sum _{i=1}^{1800}M{X}_{i}\right|\prec 0.25\right)\geq 1-{\frac {6}{1800*{0.25}^{2}}}=1-0.053=0.947$

Жишээ4. Хайрцагт байгаа 3000 үрлийн 1000 цагаан үлдсэн нь шар өнгөтэй байв. Нэг үрэл таамгаар сонгон авч өнгийг нь тэмдэглэн авах туршилтыг 300 удаа хийв. Туршилтаар 80-120 удаад нь цагаан үрэл сонгогдох үзэглийн магадлалыг үнэл. Х нийт туршилтанд гарч ирэх цагаан үрлийн тоо болог. Тэгвэл P(80<X<120) магадлалыг үнэлнэ гэсэн үг хайрцгаас цагаан үрэл сонгогдох магадлал p=1/3

$80\prec X\prec 120\Leftrightarrow {\frac {80}{300}}<$

Иймд томъёог n=300, ε=1/15үед хэрэглэвэл $80<X<120\Leftrightarrow {\frac {80}{300}}<{\frac {X}{300}}<{\frac {120}{300}}\Leftrightarrow {\frac {80}{100}}-{\frac {1}{3}}<{\frac {120}{300}}-{\frac {1}{3}}-frac{1}{15}<frac{X}{300}-frac{1}{3}<frac{1}{15}$

$p\left(80<X>120\right)=P\left(\left|{\frac {X}{300}}-{\frac {1}{3}}\right|<{\frac {1}{15}}\right)\geq 1-{\frac {{\frac {1}{3}}*{\frac {2}{3}}}{1800*{\frac {1}{225}}={\frac {5}{6}}\approx 0.83}}$

Энэ нь 300 удаа туршилт хийхэд цагаан үрэл гарч ирэх үзэгдлийн харьцангуй давтамж магадлалаасаа ялгагдах ялгаа (абсолют хэмжигдэхүүнээрээ) 1/15-аас бага байх магадлал 0,83-аас багагүй гэсэн үг болно. Дээр авч үзсэн их тооны хуулийн теоремууд нь хүрэлцээтэй олон санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дунджийн тогтворжилтыг илэрхийлдэг бол ноормчлогдсон n санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр n→∝ үед хэвийн тархалттай байх тухай хязгаарын гол теоремд авч үздэг. Хязгаарын гол теорем (Ляпуновын теорем). Хэрэв Х1, Х2, ......., Хn, ...... гэсэн хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга бусад санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллын хувьд

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүр төгсгөлөг математик дундаж, дисперстэй

$M{X}_{i}={a}_{i},D{X}_{i}={\sigma }_{i},i=1,n$

Аль ч санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга бусад санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудаас эрс ялгаатай биш бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр ${Y}_{n}={X}_{1}+{X}_{2}...+{X}_{n}n$-ийг хүрэлцээтэй өсөхөд $\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}$ математик дундаж, $\sum _{i=1}^{n}{\sigma }_{i}^{2}$ дисперс бүхий стандарт хэвийн тархалт уруу нийлнэ.