Аполлоны теорем

Аполлоны теорем нь элементар геометрт гурвалжин дахь хэд хэдэн элементүүдийг холбосон теорем юм.

Энэ теорем нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд хэрэв D нь BC талыг n:m (эсвэл $mBD=nDC$) гэсэн харьцаатайгаар хуваасан дурын цэг бол

$mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}.$

биелэнэ.

Теоремын онцлог тохиолдлууд

• $m=n(=1)$ үед AD нь BC тал дээр буусан медиан болох бөгөөд теорем дараах хэлбэрт шилжинэ

$AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}+DC^{2}+2AD^{2}.\,\!$$AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}+DC^{2}+2AD^{2}.\,\!$

• Үүн дээр нэмээд AB = AC гэвэл адил талт гурвалжин болох бөгөөд улмаар теорем нь Пифагорын теорем болон хувирна

$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2}).\,\!$

Энгийнээр аливаа гурвалжин $ABC\,\!$-ын хувьд хэрэв $AD\,\!$ нь медиан бол $AB^{2}+AC^{2}\,\!$= $2(AD^{2}+BD^{2})\,\!$ биелэнэ. Энэ теоремыг батлахын тулд $BC\,\!$ тал дээр $A\,\!$ оройгоос $AX\,\!$ перпендикулярыг буулгая. Тэгвэл $ABX\,\!$ болон $ACX\,\!$ гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэвэл

$AB^{2}=AX^{2}+BX^{2}\,\!$

=$AX^{2}+(BD+DX)^{2}\,\!$

=$AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX\,\!$ ...........(i)

болон

$AC^{2}=AX^{2}+CX^{2}\,\!$

=$AX^{2}+(CD-DX)^{2}\,\!$

=$AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\,\!$ ...........(ii)

болно.

(i) болон (ii) тэгшитгэлүүдийг нэмбэл

$AB^{2}+AC^{2}\,\!$

=$AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX+AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\,\!$

=$2(AX^{2}+DX^{2}+BD^{2})\,\!$ { $BD=DC\,\!$ учраас, $2.BD.DX=2.DC.DX\,\!$ болно}

=$2(AX^{2}+DX^{2})+2BD^{2}\,\!$

=$2(AD^{2}+BD^{2})\,\!$ {$AXD\,\!$ нь тэгш өнцөг учраас}

Теорем батлагдав.

Мөн үзэх

• Стюартын теорем
• Параллелограмын хууль
• Пифагорын теорем
• Менелайн теорем
• Чевийн теорем