Чевийн теорем

Чевийн теорем нь элементар геометрийн алдартай теоремуудын нэг юм. Өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд D, E, F цэгүүд нь харгалзан BC, CA, AB талууд дээр орших бөгөөд теорем нь AD, BE, CF шулуунууд нь нэг цэгт огтлолцож байвал дараах нөхцөл биелнэ эсвэл дараах нөхцөл биелж байвал дээрх шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэсэн байдаг.

Чевийн теорем 1-р хувилбар: гурван шугам нь ABC гурвалжны дотор O цэгт оглолцоно

Чевийн теорем 2-р хувилбар: гурван шугам нь ABC гурвалжны гадна O цэгт оглолцоно

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Мөн Чевийн теоремийн тригонометр хэлбэр байдаг бөгөөд энэ нь AD, BE, CF нэг цэгт огтлолцож байвал дараах нөхцөл биелнэ эс бөгөөс дараах нөхцөл биелж байвал шулуунууд нэг огтлолцоно.

${\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\times {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1$.

Энэ теоремийг Жиованни Чев 1678 онд өөрийн De lineis rectis нэртэй ажилдаа баталсан байдаг. Гэхдээ теоремийг үүнээс өмнө Сарагосын 11-р зууны үеийн хаан Аль-Мутаман ибн Хюд мөн баталсан юм.

Дээрх теорем дээр үндэслэн Чевийн нэрнээс хэд хэдэн нэршил үүсэн гарсан. Тухайлбайл чевиан (AD, BE, CF шулуунууд нь О цэгийн чевианууд юм), чевиан гурвалжин (DEF гурвалжин нь О цэгийн чевиан гурвалжин), мөн чевиан тор, античевиан гурвалжин, чевийн хувьсагч гэх мэт.

Теоремын баталгаа

$AD$, $BE$ болон $CF$ шулуунууд $O$ цэгт огтлолцоно гэе. Тиймээс $\triangle BOD$, $\triangle COD$ гурвалжнууд нь ижил өндөртэй. Улмаар

${\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {BD}{DC}}.$

бөгөөд мөн үүнтэй адилаар

${\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}={\frac {BD}{DC}}.$

болно. Үүнээс

${\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.$

болох ба мөн адилаар

${\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},$

болон

${\frac {AF}{FB}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.$

болно. Эдгээр гурван тэгшитгэлийг үржүүлбэл

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,$

болно. Эсрэгээр нь $D$, $E$ болон $F$ цэгүүд дээрх нөхцлийг хангана гэж үзье. $AD$ болон $BE$ шулуунууд $O$ цэгт огтлолцох ба харин $CO$ нь $AB$-тэй $F'$ цэгт огтлолцоно гэе. Тэгвэл дараах нөхцлийг мөн хангах болно.

${\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Үүнийг дээрх тэгшитгэлтэй харьцуулбал

${\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}.$

болно. Хоёр талд нь 1-ийг нэмээд $AF'+F'B=AF+FB=AB$-ыг ашиглавал

${\frac {AB}{F'B}}={\frac {AB}{FB}}.$

болно. Тиймээс $F'B=FB$ бөгөөд $F$ цэг болон $F'$ цэгүүд нь давхцана. Улмаар $AD$, $BE$ болон $CF$=$CF'$ шулуунууд нь $O$ цэгт огтлолцоно. Теорем батлагдав.

Мөн үзэх

• Менелайн теорем

Гадаад холбоос

• Ceva's Theorem, Interactive proof with animation and key concepts by Antonio Gutierrez, Peru.
• Derivations and applications of Ceva's Theorem at cut-the-knot
• Trigonometric Form of Ceva's Theorem at cut-the-knot
• Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
• Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling

Ишлэл

• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995), "Ceva, Menelaus and the Area Principle", Mathematics Magazine, 68 (4): 254–268.
• J. B. Hogendijk, "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century kin of Saragossa and brilliant mathematician," Historia Mathematica 22 (1995) 1-18.
• Landy, Steven. A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions. The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 10 (Dec., 1988), pp. 936-939
• Masal'tsev, L. A. (1994) "Incidence theorems in spaces of constant curvature." Journal of Mathematical Sciences, Vol. 72, No. 4
• Wernicke, Paul. The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension. The American Mathematical Monthly, Vol. 34, No. 9 (Nov., 1927), pp. 468-472