Стирлингийн томъёо

Математикт "Стирлингийн томъёо" нь n!-н утгыг олоход түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм. Ялангуяа n нь их утгатай үед(10!, 100! ...) мөн log суурьтай n!-н утгыг тооцоолоход хэрэглэгддэг. Бодолтын үр дүнд тооны машинаар бодсонтой хариу нь яг таарч гарахгүй ч хамгийн дөхөмтэйгээр тооцоолж олдог. Энэхүү томъёог алдартай математикч Жеймс Стирлингийн нэрээр нэрлэжээ.

(ln n!) - ийг (n ln n − n) - д хуваасан харьцаа нь n ихсэх тусам нэг гэсэн утга руу дөхнө.

1. $\ln(n!)=n\ln(n)-n$

2. $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

3. $\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.$

4. $n\in \mathbb {N} _{+}$ үед ${\sqrt {2\pi }}\ n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+1/2}e^{-n},$

харин $n\geq 1$ үед харьцаа нь ${\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}$. (${\sqrt {2\pi }}=2.5066...$, $e=2.71828...$ тогтмол утгууд)

Томъёоны гаргалгаа

1. $n!$-н утгыг тооцоолохын оронд, түүнээс натурал логарифм авбал:

$\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).$

Тэгшитгэлийн баруун талаас нь хасвал

${\tfrac {1}{2}}(\ln(1)+\ln(n))={\tfrac {1}{2}}\ln(n),$

Интегралын трапец дүрмийн дагуу

$\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln(n)\approx \int _{1}^{n}\ln(x)\,{\rm {d}}x=n\ln(n)-n+1,$

Euler–Maclaurin томъёо-н дагуу алдаа нь:

${\begin{aligned}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln(n)&={\tfrac {1}{2}}\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)\\&=n\ln(n)-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}$

Үүнээс B_k( Бернуллийн дугаар) ба R_m,n-г олохын тулд хязгаар авна.

$\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln(n)+n-{\tfrac {1}{2}}\ln(n)\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.$

энд $''y''$-аар хязгаарыг тэмдэглэсэн

$R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),$

Big-O-г хэрэглэхэд, түүний логарифм хэлбэр дэхь тэгшитгэлүүдйг нэгтгэнэ:

$\ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).$

Хоёр талаас нь экспоненциал аваад, m-г эерэг гэж үзүүл, m = 1 болоод томъёо нь

$n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

энд e^y эь $e^{y}={\sqrt {2\pi }}$ болсноор Стирлингийн томъёо нь:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Laplace-н томъёог хэрэглэн, 2 талаасаа хязгаарлагдсан хандлага нь ${\sqrt {2\pi n}}$ болсноор Стирлингийн томъёо нь.

$\ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln(j)$

Интеграл авахад

$\sum _{j=1}^{n}\ln(j)\approx \int _{1}^{n}\ln(x)\,{\rm {d}}x=n\ln(n)-n+1.$

2. Гамма функцыг ашиглан $n!$ -г олъё.

$n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx.$

Хувьсагчуудаа $x=ny$ ингэж солиход

$n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}dx=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy.$

үүнийг Laplace-н томъёон дагуу:

$\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}$

Стирлингийн томъёо нь,

$n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Laplace-н томъёог хэрэглээд n-н факториалыг олоход алдаа үүсдэг учир Laplace-н томъёо-д өргөтгөлийг тооцоолвол

$\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)$

Стирлингийн томъёо,

$n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)$ болох ба энүүгээр тооцоолбол алдааны утга багасах болно.

Гамма функцинд Стирлингийн томъёо

Бүх утга нь эерэг байх n-н хувьд,

$n!=\Pi (n)=\Gamma (n+1),$

Гамма функцыг Γгэж тэмдэглэдэг.

Pi функц нь факториал биш ч, төвөгтэй тоонуудыг тодорхойлдог. Хэрвээ Re(z) > 0 бол

$\ln(\Gamma (z))=\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan({\frac {t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1}}\,{\rm {d}}t.$

Интеграл авбал

$\ln(\Gamma (z))\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}$

B_n нь n-н Бернуллийн дугаар.|arg(z)| < π−ε ба ε эерэг байхад алдааны утга нь $O(z^{-2m-1})$ байна. үүнийг томъёондоо орлуулахад:

$\Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}~{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).$

Энэ асимптотик томъёог Re(z)тогтмол утгатай z аргументыг олоход хэрэглэдэг.

Жишээ бодлого

Бодлого1. 10!=?

$10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1$=3628800 гэж олж болох ч Стирлингийн томъёогоор бодвол

$10!\sim {\sqrt {2\pi 10}}\left({\frac {10}{e}}\right)^{1}0=3598695.61$

Бодлого2. log(10!)=?

$log(10!)=15.104$ бол Стирлингийн томъёогоор бодвол

$\log(10!)=10\ln(10)-10$ нь ойролцоогоор 15,095 гарч байна.

Түүх

n-н факториалыг олох доорхи томъёог анх нээсэн хүн Abraham de Moivre юм.

$n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}.$

Холбоотой хичээлүүд

• Факториал
• Lanczos approximation
• Spouge's approximation

Ном зүй

• Abramowitz, M.; Stegun, I. (2002), Handbook of Mathematical Functions {{citation}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
• Nemes, G. (2010), "New asymptotic expansion for the Gamma function", Archiv der Mathematik, 95 (2): 161–169, doi:10.1007/s00013-010-0146-9
• Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79001-8 {{citation}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1996), A Course in Modern Analysis (4th ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 {{citation}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
• Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.
• Y.-C. Li, A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula, Real Analysis Exchang, Vol. 32(1), 2006/2007, pp. 267–272.

Линкүүд

• Peter Luschny, Approximation formulas for the factorial function n!
• Эрик Вейнштейн, Stirling's Approximation

Энэ математикийн тухай өгүүлэл дутуу дулимаг бичигджээ. Нэмж гүйцээж өгөхийг хүсье.