Бруны тогтмол

Бруны тогтмол (Англи: Brun's constant) нь математикийн тогтмолуудын нэг бөгөөд B₂ гэж тэмдэглэгддэг. Уг тогтмол нь ихэр анхны тоонуудын урвуунуудын нийлбэрийн хязгаараар илэрхийлэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл,

$B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots$

болно. Энэ нь төгсгөлөг, төгсгөлөг бус алин болох нь тодорхойгүй боловч Вигго Брун 1919 онд уг нийлбэрийг нийлдэг болохыг тогтоосон байна. Энэ нь анхны тоонуудын урвуунуудын нийлбэр сарнидаг гэдэгтэй харьцуулбал сонирхолтой юм. Хэрэв эсрэгээрээ, Бруны нийлбэр нь сарнидаг байсан бол ихэр анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй олон болох нь илэрхий боловч, нийлдэг гэдэг нь тогтоогдсоноор ихэр анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг, төгсгөлөг бус алин болох нь тодорхойгүй хэвээр үлджээ. Мөн энэхүү нийлбэр нь рационал, иррационал алин болох нь ч мэдэгдээгүй байгаа. Томас Р.Найсли 10-ын 14 зэрэг хүртэлх хэсгийн нийлбэрийг тооцоолж, B₂-ыг ойролцоогоор 1.902160578 гэж таамаглажээ. Цаашилбал, уг нийлбэрийг тооцоолж байх үедээ Pentium FDIV-гийн алдааг нээн илрүүлсэн түүхтэй. Өнөөдрийг хүртэл хамгийн нарийвчлалтай тооцооллыг 2002 онд Паскал Себа, Патрик Демишел 2 гаргасан бөгөөд 10-ын 16 зэрэг хүртэлх хэсгийн нийлбэр нь

B₂ ≈ 1.902160583104

болж байгаа юм. Өөрөөр хэлбэл 1.9 < B₂ болох нь батлагдсан хэдий ч B₂ < N болох бодит тоо N-г хараахан олж амжаагүй байна.

Мөн дөрвөн ихэр анхны тоонуудын хувьд ч ийм нийлбэрийг тодорхойлж болдог. Уг нийлбэрийг 4 ихэр анхны тооны Бруны тогтмол гээд B₄ гэж тэмдэглэнэ. 4 ихэр анхны тоо гэдэг нь (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) гэх мэт 2-ын зөрүүтэй 4 анхны тоог хэлдэг. Иймд B₄-г дараах аргаар тодорхойлж болно.

$B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots$

Энд

B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005

гэж таамагладаг.

Энэ тооны онолын тухай өгүүлэл дутуу дулимаг бичигджээ. Нэмж гүйцээж өгөхийг хүсье.