Эсрэг схем (тооцон бодох математик)

Тооцон бодох шингэний динамикт чиглэлийн эсрэг эсвэл салхины эсрэг схем (хялбарчилж эсрэг схем) нь гиперболлог тухайн дифференциал тэгшитгэлийг тухайлах сонгодог схемийн нэг юм. Эсрэг схем нь шингэний урсгалын орон дахь физик хэмжигдэхүүний тархалтын чиглэлийг тооцоолох мэдрэмтгий, дасан зохицохуйц төгсгөлөг ялгаварын шилбийг (stencil) ашигладаг. Эсрэг схем нь тодорхойлогч хурдны тэмдэг ямар байхаас хамаарч ялгаварыг үйлддэг. Түүхийг авч үзвэл, Эсрэг схемийг Коурант болон CIR аргыг боловсруулсан Исааксон, Реес нарын ажлаас харж болно.^[1]

Загвар тэгшитгэл

Энэ аргыг тайлбарлахын тулд дараах нэг хэмжээст шугаман адвекцийн тэгшитгэлийг авч үзье.

\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

Энэ тэгшитгэл нь $x$ -тэнхлэгийн дагуу хурд $a$ -аар долгион шилжих үзэгдлийг харуулна. Дурьдсанчлан энэ тэгшитгэл нь нэг хэмжээст шугаман зөөгдөлт буюу адвекцийн математик загвар юм. Тооцон бодох хүрээн дахь ердийн торны $i$ зангилааг авч үзье. Нэг хэмжээст бодлогийн хүрээнд авч үзэж буй зангилаа $i$ -ын хувьд баруун ба зүүн гэсэн чиглэл харгалзана. Хэрэв $a$ нь эерэг бол зүүн талын шилбэ нь салхин эсрэг тал болж баруун тал нь салхин дагуу хэсэг болно. Үүнтэй ижил байдлаар, хэрэв $a$ нь сөрөг тэмдэгтэй бол зүүн тал нь хялбараар дагуу тал, баруун тал нь эсрэг тал болно. Хэрэв орон зайн уламжлал дахь төгсгөлөг ялгаварын схемд $\partial u/\partial x$ нь салхин эсрэг талдаа олон зангилаа агуулж байвал түүнийг салхин эсрэг схем эсвэл энгийнээр эсрэг схем гэж нэрлэнэ. Салхин дагуу схемийг энгийнээр дагуу схем гэж нэрлэнэ.

Нэгдүгээр эрэмбийн эсрэг схем

a = sin(t) функцын нэгдүгээр эрэмбийн эсрэг схемийн симуляци.

Хамгийн энгийн эсрэг схем бол нэгдүгээр эрэмбийн эсрэг схемийн арга юм. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ.^[2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Товч хэлбэр

Тодорхойлох хурдны тэмдэгийг шалгах

\qquad \qquad a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)

эсрэг схемийг тухайлбал

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}

Дээрх нөхцөлт хоёр тэгшитгэлийг (1) ба (2) нэгтгэн авсаархан байдлаар бичвэл

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]

Тэгшитгэл (3) нь эсрэг схемийн ялгаварын тэгшитгэлийг бичих ерөнхий хэлбэр юм.

Тогтворшилт

Хэрэв дараах Коурант-Приедрич-Леви нөхцөл (CFL) биелэж байвал эсрэг схемийн шийд тогтвортой байна гэж үзнэ.^[3]

\qquad \qquad c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.

Эсрэг схемийн тэгшигэлийг Тейлорын цуваагаар шинжилбэл орон зайн хувьд нэгдүгээр эрэмбийн нарийвчлалтай гарна. Нэгдүгээр эрэмбийн эсрэг схем нь градиентийн өөрчлөлт ихтэй бодлогын хувьд зарим нэг тооцооллын тархалтыг харуулдаг.

Хоёрдугаар эрэмбийн эсрэг схем

Нэгдүгээр эрэмбийн эсрэг схемийн орон зайн тохиролыг /нарийвчлал/ ашиглах хоёр зангилааг гурав болгож нэмэгдүүлсэнээр сайжруулж болох ба энэ нь орон зайн уламжлалыг ойролцоолоход маш нарийвчлалтай ялгаварын шилбийг санал болгодог. Хоёрдугаар эрэмбийн эсрэг схемийн хувьд $u_{x}^{-}$ нь тэгшитгэл (3)-т 3-н зангилаатай ухрах ялгавартай болж дараах байдлаар бичигдэнэ.

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}

ба $u_{x}^{+}$ нь гурван зангилаат давших ялгавараар

\qquad \qquad u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}

Энэ схем нь нэгдүгээр эрэмбийн схемээ бодвол тархалт бага байх учир шугаман эсрэг ялгаварын схем (LUD) гэж нэрлэгддэг.

Гуравдугаар эрэмбийн эсрэг схем

Гуравдугаар эрэмбийн эсрэг ялгаварын схемийн хувьд, $u_{x}^{-}$ нь тэгшитгэл (3)-т дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {2u_{i+1}+3u_{i}-6u_{i-1}+u_{i-2}}{6\Delta x}}

Мөн $u_{x}^{+}$ нь:

\qquad \qquad u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}+6u_{i+1}-3u_{i}-2u_{i-1}}{6\Delta x}}

Эрэмбэ өсөх тусам тооцооллын тархалт багассаар байх болно. Гэвч дисперси маягийн жижиг алдаанууд өндөр градиентын өөрчлөлттэй үед ажиглагддаг.

Мөн үзэх

Лавлах

↑ Courant, Richard; Isaacson, E; Rees, M. (1952). "On the Solution of Nonlinear Hyperbolic Differential Equations by Finite Differences". Comm. Pure Appl. Math. 5: 243..255. doi:10.1002/cpa.3160050303.
↑ Patankar, S. V. (1980). Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Taylor & Francis. ISBN 978-0-89116-522-4.
↑ Hirsch, C. (1990). Numerical Computation of Internal and External Flows. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92452-4.

[1] Courant, Richard; Isaacson, E; Rees, M. (1952). "On the Solution of Nonlinear Hyperbolic Differential Equations by Finite Differences". Comm. Pure Appl. Math. 5: 243..255. doi:10.1002/cpa.3160050303.

[2] Patankar, S. V. (1980). Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Taylor & Francis. ISBN 978-0-89116-522-4.

[3] Hirsch, C. (1990). Numerical Computation of Internal and External Flows. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92452-4.

[1]

[2]

[3]