A.batgem

Геометр Гоппа код

Математикт, Алгебр геометр код (AG-code)-г өөрөөр Геометр Гоппа код гэдэг. Гоппа код нь төгсгөлөг талбар $\mathbb {F} _{q}$ дээр алгебрийн муруй болох $X$-г хэрэглэн байгуулсан шугаман кодын ерөнхий хэлбэр юм . Уг кодыг Valerii Denisovich Goppa танилцуулсан . McEliece cryptosystem-д хэрэглэхдээ хоёртын гоппа кодтой андуурч болохгүй.

Байгуулалт

Уламжлалт аргаар AG-code нь төгсгөлөг талбар $\mathbb {F} _{q}$ дээр ганц биш муруйнууд болох X-г байгуулдаг.

${\mathcal {P}}$:= {P₁, P₂, ..., P_n} ⊂ X ( $\mathbb {F} _{q}$) X-д.

G нь X-н хуваагч бөгөөд зөвхөн цэгүүдээр байгуулагддаг иймээс ${\mathcal {P}}$ ∩(G) = Ø болно.

Харин Riemann-Roch теоромоор төгсгөлөг хэмжээст векторын зайг илэрхийлэх бөгөөд $L(G)$ нь хуваагч G-г дэмжинэ.Вектор зай нь X-н хувьд дэд зай нь юм.

AG-code-н хоёр гол төрөл нь мэдээллийг ашиглан зохион байгуулж чаддаг.

Функцын код

Фунъцын код нь муруй болох X, хуваагч G болон ${\mathcal {P}}$-г дараах байдлаар зохион байгуулдаг.
$D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}$ нь хуваагч. Гоппа кодыг C(D,G) тэмдэглэдэг.

C(D,G) = {(f(P₁), ..., f(P_n))|f $\in$ L(G)}⊂$\mathbb {F} _{q}^{n}$

Тогтмол утгууд

f₁, f₂, ..., f_k-г авахад

(f_i(P₁), f_i(P₂), ..., f_i(P_n)) болно.

Иймээс C(D,G)-н матриц нь

${\begin{bmatrix}f_{1}(P_{1})&...&f_{1}(P_{n})\\...&...&...\\f_{k}(P_{1})&...&f_{k}(P_{n})\end{bmatrix}}$

$\alpha :L(G)\longrightarrow \mathbb {F} ^{n}$-н дүр гэж тодорхойлдог,

f нь $f\longmapsto (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n}))$ болно.

Дараах гаргалгаанууд нь кодын параметрууд болон сонгодог параметрууд болох D.C-г хэрхэн хамаарагдахыг харуулна.

Нөхцөл A C(D,G) нь

$k=l(G)-l(G-D)$,

Нөхцөл B хоёр үгийн хоорондын хамгийн бага зай нь

$d\geq n-\deg(G)$.

Баталгаа A

$C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha ),$ эндээс

$\ker(\alpha )=L(G-D)$.

$f\in \ker(\alpha )$-г дэмжинэ. Тэгэхээр $f(P_{i})=0,i=1,\dots ,n$, so $\mathrm {div} (f)>D$. Иймээс $f\in L(G-D)$.
Харин $f\in L(G-D)$ бол $\mathrm {div} (f)>D$

$P_{i}<G,i=1,\dots ,n$ учир

$f(P_{i})=0,i=1,\dots ,n$ болно.

Баталгаа B

$d\geq n-\deg(G)$ нь $\alpha (f)$-н Хэммингийн жин(d)-г дэмжинэ. Энэ нь $n-d$ $P_{i}$s-д $f(P_{i})=0$ байна,$P_{i_{1}},\dots ,P_{i_{n-d}}$ гэсэн үг. Tэгэхээр $f\in L(G-P_{i_{1}}-\dots -P_{i_{n-d}})$, болон

$\mathrm {div} (f)+G-P_{i_{1}}-\dots -P_{i_{n-d}}>0$ болно.

Хоёр талаас нь degree авбал

$\deg(\mathrm {div} (f))=0$,

$\deg(G)-(n-d)\geq 0$,

Иймд

$d\geq n-\deg(G)$. Q.E.D болно.

Ном зүй

• Key One Chung, Goppa Codes, December 2004, Department of Mathematics, Iowa State University.

Холбогдолтой линкүүд

• An undergraduate thesis on Algebraic Geometric Coding Theory
• Goppa Codes by Key One Chung