Хаусдорфын огторгуй

Математикт Хаусдорфын огторгуй (Англи: Hausdorff space) гэж ялгаатай цэг болгон нь дөхөлтөөр тусгаарлагддаг топологи огторгуйг хэлнэ. T₂ огторгуй ч гэдэг. Топологи огторгуйн тухай янз бүрийн тусгаарлалтын аксиомуудын нөхцөлд энэхүү Хаусдорфын огторгуй нь хамгийн ихээр дурьдагддаг. Топологийн онолын үндэслэгчдийн нэг Феликс Хаусдорфын нэрээр нэрлэгдсэн.

Тодорхойлолт

Ялгаатай 2 цэгийг тусгаарлах дөхөлтүүд

X нь топологи огторгуй байг. X-ийн дурын 2 цэг x, y-ийн хувьд U ∩ V = Ø байх x-ийн задгай дөхөлт U, y-ийн задгай дөхөлт V заавал олддог бол X-г Хаусдорфын огторгуй гэнэ.

Дээрх тодорхойлолттой нэг утгыг илэрхийлэх, Хаусдорфын огторгуйн дараах онцлог шинжүүд бий:

• X-ийн дурын )фильтр нь хамгийн ихдээ ганц цэгт нийлнэ.
• X-ийн дурын синглетон буюу ганц элементтэй олонлог нь өөрийн дөхөлтүүдийн огтлолцол байна.

Жишээ

Натурал тоон олонлог нь түүн дээр тодорхойлогдох ердийн топологийн хувьд Хаусдорфын огторгуй юм.

Чанарууд

Хаусдорфын огторгуйн дэд огторгуй ба шулуун үржвэр огторгуй нь мөн Хаусдорфын огторгуй болно.

Хаусдорфын огторгуй нь T₁ огторгуй юм. компакт дэд олонлогууд нь битүү олонлог байна. Хаусдорфын огторгуйн хоорондоо үл огтлолцох 2 компакт дэд олонлогийг тэдгээрийн дөхөлтөөр тусгаарлаж болно.

• f: X → Y нь Хаусдорфын огторгуйд буулгасан тасралтгүй буулгалт гэвэл түүний график { (x, f(x)) | x ∈ X} нь шулуун үржвэр огторгуй X × Y-д харьяалагдах битүү олонлог болно.
• f: X → Y нь буулгалт, X × X -ийн дэд олонлог ker(f) = {(x, x′) | f(x) = f(x′) } нь түүний )цөм гэж үзвэл
  • f нь тасралтгүй бөгөөд хэрэв Y нь Хаусдорфын огторгуй бол ker(f) нь битүү олонлог байна.
  • f нь суръектив задгай буулгалт бөгөөд ker(f) нь битүү олонлог бол Y нь Хаусдорфын огторгуй байна.
  • f нь суръектив тасралтгүй задгай буулгалт бол Y нь Хаусдорфын огторгуй байх явдал нь ker(f) нь битүү олонлог байхтай ижил утгатай.
• f, g: X → Y нь тасралтгүй буулгалт бөгөөд Y нь Хаусдорфын огторгуй бол eq(f, g) = { x |f(x) = g(x) } нь X дотор битүү байна.
• f: X → Y нь суръектив битүү буулгалт бөгөөд дурын y ∈ Y-н хувьд f^-1(y) нь компакт байдаг гэе. Тэгвэл X нь Хаусдорфын огторгуй байвал Y нь мөн ижил.
• f: X → Y нь суръектив задгай тасралтгүй буулгалт бөгөөд X нь компакт Хаусдорфын огторгуй бол дараах өгүүлбэрүүд тэнцүү чанартай:
  • Y нь Хаусдорфын огторгуй
  • f нь битүү буулгалт
  • ker(f) нь битүү олонлог