|
[[Зураг:RiemannCriticalLine.svg|thumb|Re(''s'') = 1/2 шугам ба Риманы зета функцийн бодит хэсэг (улаан) ба хуурмаг хэсэг (хөх).]]
зета функц
[[Математик]]т, '''Риманы таамаглал''' гэдэг нь [[Риманы зета функц]]ийн бүх хялбар илэрхийлэгдэхгүй тэглэгч утгууд нь гэсэн бодит хэсгийг агуулна гэсэн томъёолол бүхий, 1859 онд математикч [[Бернар Риман]]ы дэвшүүлсэн таамаглалыг хэлнэ.
Риманы (s), s=+it функцийн төлөв байдал , ялангуяа комплекс аргументын бодит хэсэг нь 0,1 завсарт өөрчлөгдөж байгаа үеийн шинж чанар юм. Дэлхийд (s) функцийн тэглэгч { s| (s)=0 } утгуудын асуудал нь математик анализын хамгийн сонирхолтой бөгөөд хамгийн хүнд асуудлын нэг болж тавигдсаар 140 жил өнгөрөөд байна. Би хэдийгээр Риманы (s) –функцийн талаар судалдаг гэж хэлэхгүй боловч , аналитик бараг үет функцийн онолтой холбогдуулан Дирихлегийн цуваагаар дүрслэгдэх функцийн тухайн тохиолдол , Бернулын тоготмолын утгаар , Риманы функцэд нилээн сонирхолтой хандаж байна. (s) –функц нь Дирихлегийн цуваагаар, эсвэл Эйлерийн төгөсгөлгүй үржвэрийн томъёогоор тодорхойлж болдог бөгөөд энэ хоёр тодорхойлолтын нэг нь нөгөөгөөсөө теорем мэтээр мөрдөн гардаг. Үүнд :
(s) =
n=1 1
________________________________________ns . (s) =
p prime 1
________________________________________1ps .
(s) функцийн бодит “s” хувьсагчийн тохилдолд анх их Л.Эйлер 1737 онд судалсан ба харин комплекс s=+it хувьсагчийн аналитик функц байдлаар (s) функцийн суут Б.Риман 1859 онд анх судалжээ.
Тодорхойлолт:
(s) =
n=1 1
________________________________________ns
Риманы таамаглалыг тооцооллын аргаар батлах боломжгүй юм.
s=+it (s) > 1 (1) гэе . Ийм ба s нь комплекс тоо юм. Жишээ нь:
(2) = 2/6, (4)=4/90,
Бид (1) томъёоноос Дирихлейн (s) функцийг оруулж ирье.
(s)
n=1 (1)n1
________________________________________ns ,
Аналитик функцэд (s) > 0. Харин s нь комплекс хавтгайд (s) > 1 . бид эндээс хувиргаж.
(s) =
n=1 1
________________________________________ns
n=1 2
________________________________________(2n)s = (s) 2
________________________________________2s (s).
(s) = (s)
________________________________________121s , (s) > 1.
(2) гэе .
2.
Томъёогоо эхэлье.
1
________________________________________ns = s
n dt
________________________________________ts+1 = s
k=n
k+1
k dt
________________________________________ts+1 ,
(s) = s
n 1
k n
k+1
k dt
________________________________________ts+1 = s
k 1
n k
k+1
k dt
________________________________________ts+1
= s
k 1 k
k+1
k dt
________________________________________ts+1
Энэ нийлбэрийн (s)>1,
дараагын нийлбэр нь:
(s) = s
1 [t]
________________________________________ts+1 dt = s
________________________________________s1 s
1 {t}
________________________________________ts+1 dt,
(3)
Эндээс [t] – бүхэл {t} = t[t] - бутархай хэсэг ба (s) функцийн (s) > 0. Эндээс
1 {t}
________________________________________t2 dt =
lim
N N
n=1
n+1
n tn
________________________________________t2 dt =
lim
N
N
1 dt
________________________________________t N
n=1 1
________________________________________n+1 =1,
Энэ томъёо (3) тэнцүү юм. Энэ томъёоноос - ыг Эйлерийн тогтмол гэнэ. Эндээс: (3) томъёог хувиргаж
(s) = 1
________________________________________s1 + + o(1), (s 1).
(4)
Томъёо гарах ба (2) томъёог үргэлжлүүлбэл :
(s) = (s)
________________________________________121s = (1)+(s1)(1)
________________________________________(s1)log(2) (s1)2log2(2)/2 + o(1)
= (1)
________________________________________log(2) (s1) +
(1)
________________________________________log(2) + (1)
________________________________________2
+ o(1).
энэ томъёог (4) Томъёотой харцуулбал (1)/log(2)=1 мөн (1)/log(2) + (1)/2 = . Үүнээс
(1) =
n=1 (1)n1
________________________________________n = log(2)
Гэж сонгодог үр дүнг харж байна. Мөн : (1) = log(2) ((1)/2) адилтгалаас
n=1 (1)n log(n)
________________________________________n = log(2)
log(2)
________________________________________2
.
Энэ томъёог гаргаж авна. Эндээс гэж чухам юу вэ? Үүнийг сонирхоё.
Эйлерийн ерөнхий тогтмол.
(4) томъёог өрөгтгөвөл :
(s) = 1
________________________________________s1 +
n=0 (1)n
________________________________________n! n(s1)n.
Эндээс n – тогтмол бөгөөд
n =
lim
m m
k=1 logn k
________________________________________k logn+1 m
________________________________________n+1 .
Энэ томъёог Эйлерийн ерөнхий тогтмол гэнэ.
3. (s) функцийн аналитик үргэлжлэл .
(s) функцийн аналитик үргэлжлэл нь 2 замтай (s) > 0. ( ийм гэдгийг (2) ба (3) томъёоноос харж болно. ) Үнэндээ Риманы зета функцийн аналитик үргэлжлэл нь комплекс хавтгайд дүрэслэгдэх явдал юм.
Одоо бид (3) томъёонд Эйлер-Маклорены нийлбэрийн томъёонд хамаарах f(x) = xs мөн q хэргэлье. Үүнээс (5) томъёог гарган авая.
(s) = 1
________________________________________s1 + 1
________________________________________2 + q
r=2 Br
________________________________________r! s(s+1)(s+r2)
1
________________________________________q! s(s+1)(s+q1)
+
1 Bq({x}) xsq dx,
(5)
Br – бернулын тоо. Мөн Bq({x})- энэ бернулын олон гишүүнт гэнэ. Энэ томъёоны зэрэг нь {x}=x[x]. мөн интеграл нь зөвхөн (s) > 1 биш. Бас (s) > 1q.
(5) томъёонд (s) функц онцгой цэгтэй S=0 үед.
(0)= 1
________________________________________2 .
Одоо S=-k үед k-ын эерэг интеграл нь q=k+1. Одоо (5) томъёонд тавьвал:
(k)
=
1
________________________________________k+1 + 1
________________________________________2 q
r=2 Br
________________________________________r! k(k1)(kr+2)
=
1
________________________________________k+1 q
r=0
k+1
r
Br = Bk+1(1)
________________________________________k+1 = Bk+1
________________________________________k+1 .
Бидний хэргэлсэн бернулын Bk – нь k- ийн авах утгаас хамаарна. K=1 үед B1=1/2,
Энэ нь бернулын олон гишүүнтыг төлөөлж байна . (s) функцийн хувьд
(2m+1) = B2m
________________________________________2m .
(6)
Энгэж бичиж болно.
4. функциональ тэгшитгэл
(s) функцийн судалгаанд онцгой чухал үүрэг гүйцэтгэдэг математик аппарат бол түүний фунциональ тэгшитгэл байдаг.
(s) = (s)(1s), (s) = 2s s1 sin
s
________________________________________2
(1s).
(7)
Эндээс (s)- нь Эйлерийн функц .
Тэгхээр (s) - ийн өрөгтгөл нь (s) > 0 талбайн хагас юм. фунциональ тэгшитгэл нь комплекс хавтгай дахь (s) - ийн аналитик үргэлжлэл юм. Энэдээс Эйлерийн (s)-н томъёо нь :
(s)(1s)=1,
(s)=1/2 шулуунд тэгш хэмтэйгээр байралсан.
5. (s) функцийн эерэг зэрэг (S=2m)
(7) гэсэн фунциональ тэгшитгэлийг (6) томъёотой адилтгаж m гэсэн эерэг зэрэг гарган авна.
(2m) = 4m (1)m1 B2m 2m
________________________________________2 (2m)!
(10)
Санамж : энэ алдартай томъёог биеээ даасан фунциональ тэгшитгэлээс гарган авсан . ( жишээ нь: Бернулын олон гишүүнт)
Миний зорлог бол энэ томъёог гаргаж авах байсан бөгөөд энэ томъёо нь S хэмжигдхүүний хамгийн тохромжтой нэгж эерэг зэрэг юм. Одоо би
(2) = 2
________________________________________6 , (4) = 4
________________________________________90 , (6) = 6
________________________________________945 , (8) = 8
________________________________________9450 .
Бодох болно. Эдгээрийн эрдэм шинжилгээний бага хурал дээр бодох болно. Риманы таамаглалыг тооцоололыэ аргаар батлах боломжгүй юм.
• (s)Риманы зета функцийн тухай Риманы таамаглал үнэн гэж үзвэл (s)уг функцийн олон төрлийн шинж чанарыг агуулсан төгс төгөлдөр математик онол гардаг. Энэ бол уг таамаглал үнэн байхын бас нэг илрэл буй зааза. Мөн дэлхийд энэ зуундмянганд шийдвэл цохихзохих 1,000,000 долларын шагналтай 7 нь бодлогныбодлогын нэг нь юм.
Монгол улсын боловсролын их сургууль
[[Ангилал:Математик анализ]]
[[Ангилал:Математикийн таамаглалууд]]
[[ar:فرضية ريمان]]
== '''Тойм текст''' ==
[[bg:Хипотеза на Риман]]
( Бичсэн : Монгол улсын боловсролын их сургууль
[[ca:Hipòtesi de Riemann]]
Мат-ын 2б анги Б.Мөнхнасан)
[[cs:Riemannova hypotéza]]
[[en:Riemann hypothesis]]
[[de:Riemannsche Vermutung]]
[[es:Hipótesis de Riemann]]
[[fr:Hypothèse de Riemann]]
[[ko:리만 가설]]
[[it:Ipotesi di Riemann]]
[[he:השערת רימן]]
[[ht:Ipotèz Riemann]]
[[lt:Rymano hipotezė]]
[[hu:Riemann-sejtés]]
[[nl:Riemann-hypothese]]
[[ja:リーマン予想]]
[[pl:Hipoteza Riemanna]]
[[pt:Hipótese de Riemann]]
[[ro:Ipoteza Riemann]]
[[ru:Гипотеза Римана]]
[[simple:Riemann hypothesis]]
[[sr:Риманова хипотеза]]
[[fi:Riemannin hypoteesi]]
[[sv:Riemannhypotesen]]
[[tr:Riemann hipotezi]]
[[zh-yue:黎曼猜想]]
[[zh:黎曼猜想]]
| 