Риманы таамаглал: Засвар хоорондын ялгаа

Content deleted Content added
Шинэ хуудас: зета функц Риманы (s), s=+it функцийн төлөв байдал , ялангуяа комплекс аргументын бодит хэсэг …
(Өөрчлөлт алга)

05:56, 13 Дөрөвдүгээр сар 2009-ий байдлаарх засвар

зета функц

Риманы (s),  s=+it  функцийн төлөв байдал , ялангуяа комплекс аргументын бодит хэсэг нь 0,1 завсарт өөрчлөгдөж байгаа үеийн шинж чанар юм. Дэлхийд  (s) функцийн тэглэгч { s| (s)=0 } утгуудын асуудал нь математик анализын хамгийн сонирхолтой бөгөөд хамгийн хүнд асуудлын нэг болж тавигдсаар 140 жил өнгөрөөд байна. Би хэдийгээр Риманы (s) –функцийн талаар судалдаг гэж хэлэхгүй боловч , аналитик бараг үет функцийн онолтой холбогдуулан Дирихлегийн цуваагаар дүрслэгдэх функцийн тухайн тохиолдол , Бернулын тоготмолын утгаар , Риманы функцэд нилээн сонирхолтой хандаж байна. (s) –функц нь Дирихлегийн цуваагаар,  эсвэл Эйлерийн төгөсгөлгүй үржвэрийн томъёогоор тодорхойлж болдог бөгөөд энэ хоёр тодорхойлолтын нэг нь нөгөөгөөсөө теорем мэтээр мөрдөн гардаг. Үүнд : 

(s) =   n=1 1 ________________________________________ns . (s) =  p prime 1 ________________________________________1ps .

   (s)  функцийн бодит “s” хувьсагчийн тохилдолд анх их Л.Эйлер 1737 онд судалсан ба харин комплекс s=+it  хувьсагчийн аналитик функц байдлаар (s)  функцийн суут Б.Риман 1859 онд анх судалжээ. 

Тодорхойлолт: (s) =   n=1 1 ________________________________________ns

  s=+it   (s) > 1  (1) гэе .  Ийм ба s нь комплекс тоо юм. Жишээ нь: 
            (2) = 2/6,    (4)=4/90,

Бид (1) томъёоноос Дирихлейн (s) функцийг оруулж ирье. (s)    n=1 (1)n1 ________________________________________ns , Аналитик функцэд (s) > 0. Харин s нь комплекс хавтгайд (s) > 1 . бид эндээс хувиргаж. (s) =   n=1 1 ________________________________________ns    n=1 2 ________________________________________(2n)s = (s)  2 ________________________________________2s (s).


(s) = (s) ________________________________________121s , (s) > 1.

(2) гэе .


2. Томъёогоо эхэлье. 1 ________________________________________ns = s   

n dt ________________________________________ts+1 = s   k=n   k+1

k dt ________________________________________ts+1 ,




(s) = s  n  1  k  n   k+1

k dt ________________________________________ts+1 = s  k  1    n  k   k+1

k dt ________________________________________ts+1   = s  k  1 k   k+1

k dt ________________________________________ts+1 Энэ нийлбэрийн (s)>1,


дараагын нийлбэр нь: (s) = s   

1 [t] ________________________________________ts+1 dt = s ________________________________________s1  s   

1 {t} ________________________________________ts+1 dt, (3)

Эндээс [t] – бүхэл {t} = t[t]  - бутархай хэсэг ба (s)  функцийн (s) > 0. Эндээс 

  

1 {t} ________________________________________t2 dt = lim N  N  n=1   n+1

n tn ________________________________________t2 dt = lim N   N

1 dt ________________________________________t  N  n=1 1 ________________________________________n+1 =1, Энэ томъёо (3) тэнцүү юм. Энэ томъёоноос  - ыг Эйлерийн тогтмол гэнэ. Эндээс: (3) томъёог хувиргаж (s) = 1 ________________________________________s1 + + o(1), (s 1). (4)

Томъёо гарах ба (2) томъёог үргэлжлүүлбэл :


(s) = (s) ________________________________________121s = (1)+(s1)(1) ________________________________________(s1)log(2)  (s1)2log2(2)/2 + o(1)

= (1) ________________________________________log(2) (s1) +   (1) ________________________________________log(2) + (1) ________________________________________2   + o(1).


энэ томъёог (4) Томъёотой харцуулбал (1)/log(2)=1 мөн (1)/log(2) + (1)/2 = . Үүнээс (1) =   n=1 (1)n1 ________________________________________n = log(2)

       Гэж сонгодог үр дүнг харж байна. Мөн : (1) = log(2) ((1)/2) адилтгалаас 

  n=1 (1)n log(n) ________________________________________n = log(2)    log(2) ________________________________________2   .

Энэ томъёог гаргаж авна. Эндээс гэж чухам юу вэ? Үүнийг сонирхоё. Эйлерийн ерөнхий тогтмол. (4) томъёог өрөгтгөвөл : (s) = 1 ________________________________________s1 +   n=0 (1)n ________________________________________n! n(s1)n.


Эндээс n – тогтмол бөгөөд n = lim m   m  k=1 logn k ________________________________________k  logn+1 m ________________________________________n+1 . Энэ томъёог Эйлерийн ерөнхий тогтмол гэнэ. 3. (s) функцийн аналитик үргэлжлэл .

   (s)  функцийн аналитик үргэлжлэл нь 2 замтай (s) > 0. ( ийм гэдгийг (2) ба  (3) томъёоноос харж болно. ) Үнэндээ Риманы зета функцийн аналитик үргэлжлэл нь комплекс хавтгайд дүрэслэгдэх явдал юм. 

Одоо бид (3) томъёонд Эйлер-Маклорены нийлбэрийн томъёонд хамаарах f(x) = xs мөн q хэргэлье. Үүнээс (5) томъёог гарган авая. (s) = 1 ________________________________________s1 + 1 ________________________________________2 + q  r=2 Br ________________________________________r! s(s+1)(s+r2)


 1 ________________________________________q! s(s+1)(s+q1)   +

1 Bq({x}) xsq dx, (5) Br – бернулын тоо. Мөн Bq({x})- энэ бернулын олон гишүүнт гэнэ. Энэ томъёоны зэрэг нь {x}=x[x]. мөн интеграл нь зөвхөн (s) > 1 биш. Бас (s) > 1q. (5) томъёонд (s) функц онцгой цэгтэй S=0 үед. (0)= 1 ________________________________________2 . Одоо S=-k үед k-ын эерэг интеграл нь q=k+1. Одоо (5) томъёонд тавьвал: (k) =  1 ________________________________________k+1 + 1 ________________________________________2  q  r=2 Br ________________________________________r! k(k1)(kr+2)


=  1 ________________________________________k+1 q  r=0   k+1 r   Br =  Bk+1(1) ________________________________________k+1 =  Bk+1 ________________________________________k+1 .

Бидний хэргэлсэн бернулын Bk – нь k- ийн авах утгаас хамаарна. K=1 үед B1=1/2, Энэ нь бернулын олон гишүүнтыг төлөөлж байна . (s) функцийн хувьд (2m+1) =  B2m ________________________________________2m . (6) Энгэж бичиж болно. 4. функциональ тэгшитгэл (s) функцийн судалгаанд онцгой чухал үүрэг гүйцэтгэдэг математик аппарат бол түүний фунциональ тэгшитгэл байдаг. (s) = (s)(1s), (s) = 2s s1 sin   s ________________________________________2   (1s). (7) Эндээс (s)- нь Эйлерийн функц . Тэгхээр (s) - ийн өрөгтгөл нь (s) > 0 талбайн хагас юм. фунциональ тэгшитгэл нь комплекс хавтгай дахь (s) - ийн аналитик үргэлжлэл юм. Энэдээс Эйлерийн (s)-н томъёо нь : (s)(1s)=1,

(s)=1/2 шулуунд тэгш хэмтэйгээр байралсан. 

5. (s) функцийн эерэг зэрэг (S=2m) (7) гэсэн фунциональ тэгшитгэлийг (6) томъёотой адилтгаж m гэсэн эерэг зэрэг гарган авна. (2m) = 4m (1)m1 B2m 2m ________________________________________2 (2m)! (10)

Санамж : энэ алдартай томъёог биеээ даасан фунциональ тэгшитгэлээс гарган авсан . ( жишээ нь: Бернулын олон гишүүнт) Миний зорлог бол энэ томъёог гаргаж авах байсан бөгөөд энэ томъёо нь S хэмжигдхүүний хамгийн тохромжтой нэгж эерэг зэрэг юм. Одоо би

(2) = 2 ________________________________________6 , (4) = 4 ________________________________________90 , (6) = 6 ________________________________________945 , (8) = 8 ________________________________________9450 .

   Бодох болно.  Эдгээрийн эрдэм шинжилгээний бага хурал дээр бодох болно. Риманы таамаглалыг тооцоололыэ аргаар батлах боломжгүй юм.          

• (s) функцийн тухай Риманы таамаглал үнэн гэж үзвэл (s) функцийн олон төрлийн шинж чанарыг агуулсан төгс төгөлдөр математик онол гардаг. Энэ бол уг таамаглал үнэн байхын бас нэг илрэл буй заа. Мөн дэлхийд энэ зуунд шийдвэл цохих 1,000,000 долларын шагналтай 7 нь бодлогны нэг нь юм.



Монгол улсын боловсролын их сургууль







Тойм текст

( Бичсэн : Монгол улсын боловсролын их сургууль Мат-ын 2б анги Б.Мөнхнасан)