"Латтис Больцманы Арга"-ны өөр хувилбарууд

 
==Холимог шингэний симуляци==
Хөдлөх болон хэв гажих [[Харилцах гадаргуу (хими)|харилцах хязгаар]]тай учир олон фазат/холимог урсгалын симуляци нь ТБШДинамик дахь уламжлалт аргуудын томоохон шалгуур байсаар ирсэн. Илүү нарийвчилбал ялгаатай [[Фаз (юмс)|фазууд]] (шингэн ба уур) эсвэл бүрэлдэхүүнүүд (тухайлбал тос ба ус) хоорондын харилцах хязгаар нь шингэний молекулуудын хооронд тодорхой харилцан үйлчлэлийг бий болгодог. Иймд макро-орчны шинжийг агуулах Навиер-Стокесийн тэгшитгэлрүү энэ мэт харилцан үйлчлэлийн микро-орчны шинж чанаруудыг боловсруулж хийх нь хүндрэлтэй байдаг. Гэхдээ ЛБА-д хэсгийн кинетик нь мөргөлдөөний операторыг засварласанаар суурь болсон микро-орчны шинж чанаруудтай холбогдох аргыг тохиромжиттохиромжтой харьцангуй хялбар болгож өгдөг. Хэд хэдэн ЛБА-ын олон фазат/холимог урсгалын загварууд хөгжсөөр байна. Эдгээрт фазийн ялгарал нь эгэл хэсгийн динамикаас автоматаар бий болох ба уламжлалт хэлхээст аргууд шиг ямар нэгэн тусгай арга шаардлагагүй. Олон фазат/холимог ЛБА нь өөр өөр комплекс шингэний системд тухайлбал харилцах хязгаарын тогтворгүйжилттэй урсгал, [[Шингэний хөөс|хөөс]]/[[дусал]]ын динамик, хатуу гадаргуугын [[норолт]],шингэний дотоод үе хоорондын гулсалт, дуслын электрогидродинамикийн деформаци гэх мэтэд амжилттай хэрэглэгдэж байна.
 
Бага Махын тооны горимтой үед нягтын өөрчлөлтийн ач холбогдлыг авч үзсэн хийн холимогийн шаталт дахь Латтис Больцманы загвар нь саяхан дэвшүүлэгдээд байна.<ref>{{cite journal|last1=Di Rienzo|first1=A. Fabio|last2=Asinari|first2=Pietro|last3=Chiavazzo|first3=Eliodoro|last4=Prasianakis|first4=Nikolaos|last5=Mantzaras|first5=John|title=Lattice Boltzmann model for reactive flow simulations|journal=EPL|date=2012|volume=98|doi=10.1209/0295-5075/98/34001}}</ref>
:<math>\frac{\part f_i}{\part t} +\vec{e}_i \nabla f_i+ \left (\frac{1}{2}\vec{e}_i\vec{e}_i : \nabla\nabla f_i +\vec{e}_i\cdot\nabla\frac{\part f_i}{\part t} +\frac{1}{2}\frac{\part^2 f_i}{\part t^2} \right ) =\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}-f_i) </math>
 
Тэнцвэрт ба тэнцвэрт бус бүрдүүлэгчрүү эгэл хэсгийн түгэлтийн функцыг өргөтгөж мөн Күдсэний тоо <math>K\,\!</math> бүхий Чапман-Энсогийн задаргааг хэрэглэвэлхэрэглэн Тэйлорын задаргаа бүхий ЛБТ нь тодорхой тасралтгүй тэгшитгэлийг олохын тулд Кудсэний тооны хувьд өөр өөр утгын хэмжээрүү задрах болно.
 
:<math>f_i=f_i^{eq}+K f_i^{neq}\,\!</math>
:<math>f_i^{neq}= f_i^{(1)}+K f_i^{(2)}+O(K^2) </math>
 
Тэнцвэрт ба тэнцвэрт бус түгээлттүгэлт нь макро-түвшний хэмжигдэхүүнүүдтэй дараах байдлын холбоог хангах ёстой. Эгэл хэсгийн хуваарилалт нь эгэл хэсгээр макро-түвшинг хэмжихийн тулд 'зөв хэлбэрт' байх ёстой.
 
:<math>\rho = \sum_i f_i^{eq} </math>
:<math> \Pi_{xy} = \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}\left[ f_i^{eq} + \left( 1 - \frac{1}{2 \tau} \right) f_i^{(1)} \right] \,\!</math>
 
Үүнд: <math>\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}</math> бол <math>\vec{e}_{i}</math>-ын (ж.н <math>\textstyle\left(\sum_{x}\vec{e}_{ix}\right)^2 = \sum_{x}\sum_{y}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}</math>) бүх бүрдүүлэгчийн нийлбэрийн квадратын хувьд товч тэмдэглэгээ нь ба Навиер-Стокесийн тэгшитгэлтэй харьцуулж болохуйц хоёрдугаар эрэмбийн тэнцвэржүүлэгч эгэл хэсгийн түгээлтийнтүгэлтийн тэгшитгэл нь:
 
<math>f_i^{eq}=\omega_i\rho \left (1+\frac{3\vec{e}_i\vec{u}}{c^2}+\frac{9(\vec{e}_i\vec{u})^2}{2c^4}- \frac{3(\vec{u})^2}{2c^2} \right) </math>.
 
Тэнцвэржүүлэгч буюу тэнцвэрт түгээлттүгэлт нь зөвхөн бага хэмжээний Махийн тоотой буюу бага хурдтай үед л хүчинтэй. Тэнцвэрт түгээлтийгтүгэлтийг цүлхэлтийн тенсорлуу оруулж ирсэнээр:
 
:<math> \Pi_{xy}^{(0)} = \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy} f_i^{eq} =p\delta_{xy}+\rho u_x u_y \,\!</math>
 
==Симульци дахь математик тэгшитгэлүүд==
Тасралтгүй Больцманы тэгшитгэл нь дан эгэл хэсгийн магадлалт хуваарилалтын /түгэлт/ функц <math>f(\vec{x},\vec{e}_i,t)\,\!</math> -ын хувьд үнэлэмжийн тэгшитгэл нь бөгөөд дотоод энергийн нягтын хуваарилалтын функцууд <math>g(\vec{x},\vec{e}_i,t)\,\!</math> (Хе нар.) нь тус бүр:
 
:<math>\partial_t f + (\vec{e}\cdot \nabla) f + F\partial_v f=\Omega(f)</math>
:<math> \vec{G} = \beta g_0(T-T_{avg})\vec{k} </math>
 
Нягт <math>\rho\,\!</math>, хурд <math>\vec{u}\,\!</math> болон температур <math>T\,\!</math> гэх мэт макро-орчний хэмжигдэхүүнүүд нь нягтын түгээлтийнтүгэлтийн функцын момент шиг тодорхойлогдох боломжтой ба илэрхийлбэл:
 
:<math> \rho = \int\ f \, d\vec{e} </math>
:<math>g_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-g_i(\vec{x},t) + G_i=\Omega(g)</math>
 
Мөргөлдөөний оператор нь зарим нэг нөхцөлнөхцөлд тухайлбал хадгалагдах хуулийг хангаж байхбайхын үедтулд үргэлж ВГК мөргөлдөөний оператороор ойролцоологдоно.
 
:<math>\Omega(f) = \frac{1}{\tau_f} (f_i^{eq}-f_i)</math>
:<math>\Omega(g) = \frac{1}{\tau_g} (g_i^{eq}-g_i)</math>
 
Мөргөлдөөний операторт байх <math>f_i^{eq}</math> нь дискрет ба үүнийг тэнцвэрт эгэл хэсгийн магадлалт түгээлтийнтүгэлтийн функ гэж үзнэ. D2Q9 ба D3Q19-ын хувьд операторыг тасралтгүй ба дискрет хэлбэрт үл шахагдах шингэний хувьд харуулсан ба үүнд D, R ба T нь хэмжээснүүд, хийн тогтмол болон абсольют температурууд юм. Тасралтгүйгээс дискрет хэлбэрийн хувьд тухайн уламжлал нь 2-р эрэмбийн тохиролтойгоор /нарийвчлал/ хийгдэв.
 
:<math>f^{eq}=\frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2RT}} </math>
\end{cases}</math>
 
Дан бүрэлдэхүүнт урсгалын хувьд энэ төрлийн ажлууд маш их хийгдсэн байдаг ба одоо Дулааны ЛБА-ын тухай авч үзье. Олон бүрэлдэхүүнт/олон фазат ДЛБА нь нэг бүрдэлт урсгалаас илүү хялбар ашиглагдахуйц, сонирхол татдаг юм. Орчин үеийн судалгаатай хөл нийлүүлэхийн тулд <math>\sigma_j\,\!</math> элементтэй системийн бүх бүрдүүлэгчийг (ж.н сүвэхрхэг орчны хана, олон төрлийн шингэний хий холимог) <math>\Psi\,\!</math> -аар тодорхойлох явдал юм.
 
:<math>f_i^{\sigma}(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-f_i^{\sigma}(\vec{x},t) + F_i=\frac{1}{\tau_f^{\sigma}} (f_i^{\sigma,eq}(\rho^{\sigma},v^{\sigma})-f_i^{\sigma})</math>