Мэлхий үсрэлтийн арга

Математикт Мэлхий үсрэлтийн интеграци гэдэг нь дараах хэлбэр бүхий дифференциал тэгшитгэлүүдийг тооцож интеграцлах арга юм . Тэгшитгэлийн хэлбэр нь

${\ddot {x}}=d^{2}x/dt^{2}=F(x)$,

эсвэл эквивалент хэлбэр бүхий

${\dot {v}}=dv/dt=F(x),\;{\dot {x}}=dx/dt=v$,

болон ялангуяа сонгодог механикын динамик системтэй холбоотой дифференциал хэлбэр байна.

Энэ арга нь бусад дэд шинжлэх ухаанд өөр нэрээр хэрэглэгддэгээрээ алдартай юм. Тухайлбал, Верлетийн интеграцийн нэг төрөл болох Хурдны Верлет аргатай ижил төрлийнх юм. Мэлхий үсрэлтийн интеграци нь дундаж хугацааны цэг дэх хурдаах $v(t)={\dot {x}}(t)$ байрлалын $x(t)$ шинэчлэл хийхэд эквивалент бөгөөд, хэмжигдэхүүн бүр өөр дээгүүрээ 'мэлхийн үсрэлт' шиг шаталчилж бодогдоно. Жишээлбэл, байрлал бүхэл хугацаанд шинэчлэгдэж байхад хурд бүхэл дээр нэмэх нь хагас хугацааны алхамд шинэчлэгдэнэ.

Мэлхий үсрэлтийн интеграци нь 2-р эрэмбийн арга ба 1-р эрэмбийн Эйлерийн интеграцитай харьцуулбал, нэгж хугацаанд ижижл тооны функцыг тооцохыг шаарддаггүй. Эйлерийн интеграцитай адилгүйгээр, хэлбэлзэлт хөдөлгөөний хувьд харьцангуй тогтвортой, тухайн нөхцөлд хугацааны алхам $\Delta t$ нь маш тогтмол байх ба $\Delta t\leq 2/\omega$ байна. байна.

Мэлхий үсрэлтийн интеграцид хурд ба байрлал шинэчлэх тэгшитгэлүүд нь:

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i-1}+v_{i-1/2}\,\Delta t,\\[0.4em]a_{i}&=F(x_{i})\\[0.4em]v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\end{aligned}}$

Үүнд $x_{i}$ нь алхам $i$ дахь байрлал, $v_{i+1/2\,}$ нь хурд эсвэл $i+1/2\,$ алхам дахь $x$ - ийн нэгдүгээр эрэмбийн уламжлал, $a_{i}=F(x_{i})$ нь хурдатгал эсвэл $i$ алхам дахь $x$ - ийн 2-р эрэмбийн уламжлал, $\Delta t$ нь хугацааны алхам бүрийн хэмжээ юм. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь бүхэл алхам дахь хурд өгөгдсөн хэлбэрээр илэрхийлэгдэж болно. Гэвч, энэхүү цаг хугацаа давтагддаг хэлбэрт, хугацааны алхам $\Delta t$ нь тогтвортой шийдэлд хүрэхийн тулд тогтмол байх ёстой.

${\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\[0.4em]v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}\,(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}$

Дээрхи нөхцөлд өндөр эрэмбийн интеграцлагч (тухайлбал Рунге–Куттагийн арга) ихэвчлэн хэрэглэгдэх боловч хурдатгал нь хүндийн хүчний массын (хурданд хамааралгүй) байрлалаас хамааралтай болох учир дээрхи тэгшитгэлийн нэг хэрэглээ нь хүндийн хүчний симуляци байж болно.

Механикийн бодлогууд тооцон бодох үйл ажиллагаанд хэрэглэгдэх үед мэлхий үсрэлтийн аргад 2 үндсэн давуу тал бий болно. Эхнийх нь Мэлхий үсрэлтийн аргын хугацаа-ухрах боломж юм. Өмнөх алхам n үед интеграци хийх, тэгээд интеграцийг эсрэг чиглэлд гүйцэтгэх буюу эхлэлийн адил байрлалд ирэхийн тулд n алхамаас ухрах чиглэлд интеграцийг хийж болно. Мэлхий үсрэлтийн интеграцийн 2 дахь давуу тал нь түүний симплектик чанар ба энэ нь динамик системийн энергийг (бага хэмжээгээр засварлагдсан арга) хадгалах тухай санааг илэрхийлдэг. Энэ бол тойрог замын динамикийг тооцох үед үнэхээрийн тустай байх ба бусад өндөр эрэмбийн тухайлбал (4-р эрэмбэ) Рунге-Куттагийн арга гэхэд хугацааны турш нилээд хэмжээгээр системийн гажилтыг бий болгох ба энергийг хадгалдаггүй.

Хугацааны ухрах боломж бүхий Симплектик интеграци гэдгээрээ, мэлхий үсрэлтийн арга нь үл мэдэгдэх нь бүхэлдээ нормчлогдсон магадлалт тархалтаас дураар сонгогдох арга болох Хамилтонийн Монте Карло-ын аргад хэрэглэгддэг.

Мөн харах

• Бүрэн дифференциал тэгшитгэлийн тоон арга
• Симплектик интеграци
• Эйлерийн интеграци
• Верлетийн интеграци
• Рунге-Куттагийн интеграци

Цахим холбоос

• The Leapfrog Integrator, Drexel University Physics
• Төгсгөлөг ялгаварын ил арга Монголын усны барилга ба гидравлик блог - Б.Аюурзана.

Энэ математик анализийн тухай өгүүлэл дутуу дулимаг бичигджээ. Нэмж гүйцээж өгөхийг хүсье.