Интерполяц

Интерполяц гэдэг нь тооцолон бодох математикийн хувьд өгөгдсөн дискрет утгуудын хоорондын утгуудыг тооцолох арга юм. Шинжлэх ухааны болон инженерын тооцоо хийхэд туршилтын аргаар эсвэл санамсаргүй сонгогдсон тоон утгуудтай ажиллах тохиолдол их гардаг. Эдгээр тоон утгуудын үндсэн дээр бусад тооцоолсон утгууд нь өндөр нарийвчлалтайгаар давхцах функцийг байгуулах шаардлагатай юм. Үүнийг аппроксимац гэдэг. Интерполяцийн хувьд бол байгуулсан функцийн муруй нь өгөгдсөн цэгүүдээр заавал дайрдаг аппроксимацийн нэг төрөл юм.

Тодорхойлолт

Давхцаагүй цэгүүдийн $~x_{i}$ ($i\in {0,1,\dots ,N}$) системийг авч үзье. $~f$ функцийн утгууд зөвхөн эдгээр цэгүүдэд тодорхой байгаа гэж бодье:

$y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.$

Интерполяцийн утга нь

$F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.$

байх $~F$ функцийг олоход оршиж байгаа юм.

• $~x_{i}$ цэгүүд нь интерполяцийн зангилаа гэж нэрлэгдэнэ.
• $~(x_{i},y_{i})$ нь өгөгдлийн цэг гэж нэрлэгдэнэ.
• Зэргэлдээх утгуудын хоорондын $~\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ утгыг интерполяцийн торны алхам гэнэ. Энэ нь тогтмол, мөн хувьсагч утгатай байх боломжтой.
• $~F(x)$ функцийг интерполцийн функц эсвэл интерполянт гэж нэрлэнэ.

Жишээ

Өгөгдсөн $~x$-н хэд хэдэн утгуудад хамаарах $~f$ утгуудыг тодорхой байна гэж үзье.

$~x$	$~f(x)$
0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Өгөгдсөн цэгүүдээс бусад цэгүүдэд тус функц ямар утга авч болохыг тогтооход интерполяц ашиглагдана(жишээ нь x = 2,5 үед).

Интерполяцийн олон төрөл байдаг ба тус аргын хэр оновчтой тооцоолох, интерполяцийн функц хэр жигд байх, өгөгдлийн цэгийн хэмжээнээс хамаарч тэдгээрээс сонголт хийх нь зөв.

Интерполяцийн төрлүүд

• Шатлалтай интерполяц буюу ойролцоох цэгийн түвшинээр хязгаарлах

Шатлалтай интерполяц

Энэ нь интерполяцийн хамгийн энгийн арга юм. Завсрын утгуудыг ойролцоох өгөгдсөн цэгүүдийн түвшинээр авах арга юм.

• Шугаман интерполяц

Шугаман интерполяц хийсэн өгөгдөл

Хамгийн хялбар аргын нэг бол шугаман интерполяци юм. Өмнөх жишээн дэх f функцийн 2,5 цэг дээрх утгыг энэ аргаар тооцоолбол 2,5 нь 2 ба 3-ын дундаж цэг учраас f(2.5) утга нь f(2)=0.9093 ба f(3)=0.1411утгуудын дундаж утга байх бөгөөд 0,5252 байна. Шугаман интерполяц нь өгөгдлийн цэгүүдийг шулуунаар холбодог ба

$y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}$

тэгшитгэлээр цэгүүдийг тодорхойлдог.

• Олон гишүүнтээр дөхөх арга

Олон гишүүнтээр дөхөх арга

Өмнө нь өгөгдсөн цэгүүдийг хооронд нь шугаман функцээр сольж байсан бол одоо n зэргийн олон гишүүнтээр солих арга бодоё. Жишээ нь өмнөх жишээнд өгөгдсөн 7 цэгийг дараах олон гишүүнтээр дөхөж болно.

$f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.$

Энд x = 2.5,үед f(2.5) = 0.5965 байна.

• Сплайн интерполяц

Сплайн интерполяц

Сплайн интерполяц нь полиномын бага-зэргээр интервал дээр хэрэглэгддэг. Мөн полиномын хэсгийг хамтад нь тэгш тохируулан тавина. Үр дүнгийн функцыг сплайн гэж нэрлэдэг.

$f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}$

Энд x = 2.5,үед f(2.5) = 0.5972.